國一數學(下) ─ 二元一次方程式

國中數學第二冊　第一章　二元一次聯立方程式
1-1 二元一次方程式

國一數學(下) ─ 二元一次方程式

《1》二元一次方程式 《2》二元一次式 (定義) 《3》二元一次式的求值 《4》化簡二元一次式 《5》二元一次方程式 《6》二元一次方程式的解 《7》二元一次方程式解的個數 《8》例題 (列式、有意義的解) 《9》重點整理

二元一次式

所謂的未知數，在數學當中，通常以英文字母或x、y、z來表示。而，未知數所代表的是『元』。也就是說，在式子當中有幾個未知數，那麼就是代表有『多少元』。如：x+2 (只有一個未知數x，所以是一元)。x-y (有兩個未知數x和y，所以是二元)。a-2b+3c-4 (有三個未知數a、b和c，所以是三元)。以此類推.....

『次』，是指未知數那右上方的最大次方數。如：x²+2(未知數最大次方數是2，所以為一元二次式)。x+3y+5(未知數x與y，最大次方數都是1，所以為二元一次式)。3x+4y²+5(未知數x與y中，最大次方數是2，所以為二元二次式)。x-2y³(未知數x與y中，最大次方數是3，所以為二元三次式)。以此類推.....

所謂的『多項式』是指，一個式子中，至少是一個以上的多項，且沒有等號。這裡的項數，是指加或減號隔開的間隔數，若其中有括號的話，就只能當成一數。所以，『多項式』最基本的是，包括一個或一個以上的加或減號，還有式子中不能有等號。如：x+2 (有x和2這兩項，所以為一元一次多項式)。x-2y+3 (x、2y、3共有三項，所以為二元一次多項式)。以此類推.....

那麼，『二元一次式』的定義，就是二個未知數，且次數都是一次的多項式。如：ax+by+c 其中a與b≠0。x項的係數是a，y項的係數是b，常數項或常數是c。以2x+3y+4為例，2是x的係數，3是y的係數，4為常數。所以，只要是在x和y這兩個未知數之前的數，就稱為係數。係數呢，有可能是正負整數、或小數、或分數來表示，但不可為0。而在多項式中，沒有未知數的數，就稱為常數。

化簡二元一次式中，常用到

分配律。如：a(b+c)=ab+ac。又如：-a(b-c)=-ab+ac。小心係數的變化，如：ab+a=a(b+1)。

同類項合併。同類項是指，變數相同且次數也相同的項。也就是說，未知數相同且未知數的次方數也相同的項。如：2x+3x、-2y-3y、-2a+4a、3b-5b

去括號。從小、中到大括號依序展開。遇到負號之時，去括號要小心。
如：2(x-2y+3)-4(2x+y-3)=2x-4y+6-8x-4y+12=x(2-8)-y(4+4)+18= -6x-8y+18

遇到分數時的通分。

二元一次式的值，就是將未知數以數值帶入後，計算所得到的數值，就稱為二元一次式的值。若式子覺得太長的話，可用化簡的方式，以利於帶入計算。


二元一次方程式

二元一次方程式。就是帶有二個未知數，且次數都是一次的等式。『二元一次式』與『二元一次方程式』兩者之間的差別在於等號。所以，式子當中出現有等號之時，就是一個方程式。如：ax+by+c=0、2x+3y=4、以此類推.....

二元一次方程式的解。顧名思義就是將一組x、y的值，帶入方程式中，最後能使等號兩邊成立的意思。解的表示方式，可以寫成數對的方式。就是在小括號裡，把x的值寫在前面，y的值寫在後面。如：(2,3)。解的另一種表示方法，外面用一個大括號把x和y的值括起來。如：大括號x=2 y=3，這樣的方式叫做一組解。

值，這包含有正負整數、分數或小數。也由於，二元一次方程式中，給一個不同的x值，就可以得到另一個y值，這都可以使得等號成立。所以，二元一次方程式有無限多組解。如：3x-y=2，可以求出不同的解，(1,1)、(2,4)、(3,7)、(-1,-5)、(-2,-8).....。若將這些解，畫成點的話，那麼可以在座標中畫出無限的點，亦可將這些點連成一條直線。



雖說，有無限多組的解。但，現實上或是在試題當中，有些解是沒有意義的。如：假設x或y代表的是，蘋果、雞蛋、動物或鉛筆....等。這時，所求出的解有負數、分數或小數時，(-1,5)、(2,3/4)、(3,1.5)....，事實上是沒有意意的。因為，有些東西是要買成整數個，不能買0.5或3/4個的。



二元一次方程式 ─ 題型解析



《1》二元一次方程式 (題型解析)《2》例題 (二元一次式的化簡)《3》例題 (二元一次式的化簡)《4》例題 (二元一次式的化簡)《5》例題 (二元一次式的化簡)《6》例題 (二元一次式的值)《7》例題 (先化簡再求值)《8》例題 (列二元一次式)《9》例題 (列二元一次式)《10》例題 (列二元一次式)《11》例題 (二元一次方程式)《12》例題 (二元一次方程式的解)《13》例題 (列二元一次方程式及其解)《14》例題 (二元一次方程式整數解)《15》例題 (整數解的應用)《16》例題 (求二元一次式的值)《17》例題 (列方程式及求值)




參考資料：www.PowerCam.cc